GAMES101 學習3——矩陣變換

參考文檔：

https://www.yuque.com/sugelameiyoudi-jadcc/okgm7e/9242e00d224c583a93ce5ac6e49246fe

為什么需要Transformation

描述攝像機的運動

描述圖像的縮放變化

用于將3D視圖投影到2D圖像上

一、2D Transformation

Linear（線性） Transforms = Matrices

其中，線性變換包括以下4種：

1.1 Scale（縮放）

1.2 Reflection（反射）

1.3. Shear（切變）

1.4 Rotate（旋轉）

默認都是按照遠點逆時針旋轉

1.5 總結：線性變換=矩陣

二、Homogeneous coordinates（齊次坐標）

為什么要引入齊次坐標

平移變換 ：它不是線性變換，不能寫成 一個x’ = M x 的形式，

我們不希望把平移當做一種特殊的情況去考慮

引入齊次坐標：可以把線性變換和平移（二者合起來就是仿射變換），用同一種形式去表示。

2.1 平移變換不是線性變換

?

\longrightarrow

?引入齊次坐標

2.1.1 齊次坐標

可以把二維的點，增加一個維度，寫成以下第一行形式

對于二維向量，寫成以下第二行形式

對于二維的點，增加了一個“1”的維度，就有了一個非常好的性質

在它前邊乘以這樣一個矩陣（圖中紅框圈出），得到的結果，可以表示平移變換。

這樣一來，我們的目的就達到了：用同一種形式表示線性變換和平移變換。

對于增加維度“1”“0”的解釋

為什么向量是“0”

首先回顧向量的概念：表示的是一個方向，也就是說，它有這樣的性質：平移不變性。這就是為什么向量增加的維度是“0”的原因，這樣一來，向量做任何平移變換操作時，就可以保證符合平移不變性。

更深層次的理解

增加維度的“0”和“1”是有意義的

向量＋向量 = 向量 對應：0 + 0 = 0

點 - 點 = 向量 對應：1 - 1 = 0

點 + 向量 = 點 對應：1 + 0 = 1

點 + 點 = ？？ 本來一個點加一個點是沒有意義的，但是人們擴充了它的定義：點+點表示的就是這兩個點的中點。也就是2.1.2 中說的

2.1.2 在齊次坐標下的2維點

對于任何w（w≠0），

(

x

y

w

)

\begin{pmatrix}x\y\w\ \end{pmatrix}

?

? xyw ?

? 表示的就是二維點

(

x

/

w

y

/

w

1

)

\begin{pmatrix}x/w\y/w\1\ \end{pmatrix}

?

? x/wy/w1 ?

?

2.2 Affine Transformation（仿射變換）

仿射變換=線性變換+平移

順序：先線性變換后平移（3D仿射同樣）

2.3 齊次坐標下的2D Transformations

2.4 逆變換

逆變換就是乘以變換矩陣的逆矩陣

三、Composite Transformation（組合變換）

3.1 復雜的變換都是由簡單的組合而來

3.2 變換的順序很重要

矩陣的“左乘”

一般都是選旋轉后平移

3.3 矩陣乘法無交換律

eg.一個不在原點的做旋轉：先變換到原點→旋轉→轉換回原來位置

3.4 解耦復雜變換

注意矩陣的運算順序是從右到左

四、3D Transformation

4.1 齊次坐標下的3維向量和點

4.2 齊次坐標下的3D Affine Transformation

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