原碼、反碼、補碼詳解

一 . 機器數和真值

在學習原碼 , 反碼和補碼之前 , 需要先了解機器數和真值的概念 .

1 、機器數

一個數在計算機中的二進制表示形式 ,? 叫做這個數的機器數。機器數是帶符號的，在計算機用一個數的最高位存放符號 , 正數為 0, 負數為 1.

比如，十進制中的數 +3 ，計算機字長為 8 位，轉換成二進制就是 00000011 。如果是 -3 ，就是 10000011 。

那么，這里的 00000011 和 10000011 就是機器數。

2 、真值

因為第一位是符號位，所以機器數的形式值就不等于真正的數值。例如上面的有符號數 10000011 ，其最高位 1 代表負，其真正數值是 -3 而不是形式值 131 （ 10000011 轉換成十進制等于 131 ）。所以，為區別起見，將帶符號位的機器數對應的真正數值稱為機器數的真值。

例： 0000 0001 的真值 = +000 0001 = +1 ， 1000 0001 的真值 = –000 0001 = –1

二 . 原碼 , 反碼 , 補碼的基礎概念和計算方法 .

在探求為何機器要使用補碼之前 , 讓我們先了解原碼 , 反碼和補碼的概念 . 對于一個數 , 計算機要使用一定的編碼方式進行存儲 . 原碼 , 反碼 , 補碼是機器存儲一個具體數字的編碼方式 .

1. 原碼

原碼就是符號位加上真值的絕對值 , 即用第一位表示符號 , 其余位表示值 . 比如如果是 8 位二進制 :

[+1] 原 ?= 0000 0001

[-1] 原 ?= 1000 0001

第一位是符號位 . 因為第一位是符號位 , 所以 8 位二進制數的取值范圍就是 :

[1111 1111 , 0111 1111]

即

[-127 , 127]

原碼是人腦最容易理解和計算的表示方式 .

2. 反碼

反碼的表示方法是 :

正數的反碼是其本身

負數的反碼是在其原碼的基礎上 , 符號位不變，其余各個位取反 .

[+1] = [00000001] 原 ?= [00000001] 反

[-1] = [10000001] 原 ?= [11111110] 反

可見如果一個反碼表示的是負數 , 人腦無法直觀的看出來它的數值 . 通常要將其轉換成原碼再計算 .

3. 補碼

補碼的表示方法是 :

正數的補碼就是其本身

負數的補碼是在其原碼的基礎上 , 符號位不變 , 其余各位取反 , 最后 +1. ( 即在反碼的基礎上 +1)

[+1] = [00000001] 原 ?= [00000001] 反 ?= [00000001] 補

[-1] = [10000001] 原 ?= [11111110] 反 ?= [11111111] 補

對于負數 , 補碼表示方式也是人腦無法直觀看出其數值的 . 通常也需要轉換成原碼在計算其數值 .

三 . 為何要使用原碼 , 反碼和補碼

在開始深入學習前 , 我的學習建議是先 " 死記硬背 " 上面的原碼 , 反碼和補碼的表示方式以及計算方法 .

現在我們知道了計算機可以有三種編碼方式表示一個數 . 對于正數因為三種編碼方式的結果都相同 :

[+1] = [00000001] 原 ?= [00000001] 反 ?= [00000001] 補

所以不需要過多解釋 . 但是對于負數 :

[-1] = [10000001] 原 ?= [11111110] 反 ?= [11111111] 補

可見原碼 , 反碼和補碼是完全不同的 . 既然原碼才是被人腦直接識別并用于計算表示方式 , 為何還會有反碼和補碼呢 ?

首先 , 因為人腦可以知道第一位是符號位 , 在計算的時候我們會根據符號位 , 選擇對真值區域的加減 . ( 真值的概念在本文最開頭 ). 但是對于計算機 , 加減乘數已經是最基礎的運算 , 要設計的盡量簡單 . 計算機辨別 " 符號位 " 顯然會讓計算機的基礎電路設計變得十分復雜 ! 于是人們想出了將符號位也參與運算的方法 . 我們知道 , 根據運算法則減去一個正數等于加上一個負數 , 即 : 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以機器可以只有加法而沒有減法 , 這樣計算機運算的設計就更簡單了 .

于是人們開始探索 將符號位參與運算 , 并且只保留加法的方法 . 首先來看原碼 :

計算十進制的表達式 : 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001] 原 ?+ [10000001] 原 ?= [10000010] 原 ?= -2

如果用原碼表示 , 讓符號位也參與計算 , 顯然對于減法來說 , 結果是不正確的 . 這也就是為何計算機內部不使用原碼表示一個數 .

為了解決原碼做減法的問題 , 出現了反碼 :

計算十進制的表達式 : 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001] 原 ?+ [1000 0001] 原 = [0000 0001] 反 ?+ [1111 1110] 反 ?= [1111 1111] 反 ?= [1000 0000] 原 ?= -0

發現用反碼計算減法 , 結果的真值部分是正確的 . 而唯一的問題其實就出現在 "0" 這個特殊的數值上 . 雖然人們理解上 +0 和 -0 是一樣的 , 但是 0 帶符號是沒有任何意義的 . 而且會有 [0000 0000] 原 和 [1000 0000] 原 兩個編碼表示 0.

于是補碼的出現 , 解決了 0 的符號以及兩個編碼的問題 :

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001] 原 ?+ [1000 0001] 原 ?= [0000 0001] 補 ?+ [1111 1111] 補 ?= [0000 0000] 補 =[0000 0000] 原

這樣 0 用 [0000 0000] 表示 , 而以前出現問題的 -0 則不存在了 . 而且可以用 [1000 0000] 表示 -128:

(-1) + (-127) = [1000 0001] 原 ?+ [1111 1111] 原 ?= [1111 1111] 補 ?+ [1000 0001] 補 ?= [1000 0000] 補

-1-127 的結果應該是 -128, 在用補碼運算的結果中 , [1000 0000] 補 ? 就是 -128. 但是注意因為實際上是使用以前的 -0 的補碼來表示 -128, 所以 -128 并沒有原碼和反碼表示 .( 對 -128 的補碼表示 [1000 0000] 補算出來的原碼是 [0000 0000] 原 , 這是不正確的 )

使用補碼 , 不僅僅修復了 0 的符號以及存在兩個編碼的問題 , 而且還能夠多表示一個最低數 . 這就是為什么 8 位二進制 , 使用原碼或反碼表示的范圍為 [-127, +127], 而使用補碼表示的范圍為 [-128, 127].

因為機器使用補碼 , 所以對于編程中常用到的 32 位 int 類型 , 可以表示范圍是 : [-2 31 , 2 31 -1] 因為第一位表示的是符號位 . 而使用補碼表示時又可以多保存一個最小值 .

四 原碼 , 反碼 , 補碼 再深入

計算機巧妙地把符號位參與運算 , 并且將減法變成了加法 , 背后蘊含了怎樣的數學原理呢 ?

將鐘表想象成是一個 1 位的 12 進制數 . 如果當前時間是 6 點 , 我希望將時間設置成 4 點 , 需要怎么做呢 ? 我們可以 :

1. 往回撥 2 個小時 : 6 - 2 = 4

2. 往前撥 10 個小時 : (6 + 10) mod 12 = 4

3. 往前撥 10+12=22 個小時 : (6+22) mod 12 =4

2,3 方法中的 mod 是指取模操作 , 16 mod 12 =4 即用 16 除以 12 后的余數是 4.

所以鐘表往回撥 ( 減法 ) 的結果可以用往前撥 ( 加法 ) 替代 !

現在的焦點就落在了如何用一個正數 , 來替代一個負數 . 上面的例子我們能感覺出來一些端倪 , 發現一些規律 . 但是數學是嚴謹的 . 不能靠感覺 .

首先介紹一個數學中相關的概念 : 同余

同余的概念

兩個整數 a ， b ，若它們除以整數 m 所得的余數相等，則稱 a ， b 對于模 m 同余

記作 a ≡ b (mod m)

讀作 a 與 b 關于模 m 同余。

舉例說明 :

4 mod 12 = 4

16 mod 12 = 4

28 mod 12 = 4

所以 4, 16, 28 關于模 12 同余 .

負數取模

正數進行 mod 運算是很簡單的 . 但是負數呢 ?

下面是關于 mod 運算的數學定義 :

上面是截圖 , " 取下界 " 符號找不到如何輸入 (word 中粘貼過來后亂碼 ). 下面是使用 "L" 和 "J" 替換上圖的 " 取下界 " 符號 :

x mod y = x - y L x / y J

上面公式的意思是 :

x mod y 等于 x 減去 y 乘上 x 與 y 的商的下界 .

以 -3 mod 2 舉例 :

-3 mod 2

= -3 - 2xL -3/2 J

= -3 - 2xL-1.5J

= -3 - 2x(-2)

= -3 + 4 = 1

所以 :

(-2) mod 12 = 12-2=10

(-4) mod 12 = 12-4 = 8

(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7

開始證明

再回到時鐘的問題上 :

回撥 2 小時 = 前撥 10 小時

回撥 4 小時 = 前撥 8 小時

回撥 5 小時 = 前撥 7 小時

注意 , 這里發現的規律 !

結合上面學到的同余的概念 . 實際上 :

(-2) mod 12 = 10

10 mod 12 = 10

-2 與 10 是同余的 .

(-4) mod 12 = 8

8 mod 12 = 8

-4 與 8 是同余的 .

距離成功越來越近了 . 要實現用正數替代負數 , 只需要運用同余數的兩個定理 :

反身性 :

a ≡ a (mod m)

這個定理是很顯而易見的 .

線性運算定理 :

如果 a ≡ b (mod m) ， c ≡ d (mod m) 那么 :

(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)

(2)a * c ≡ b * d (mod m)

如果想看這個定理的證明 , 請看 : http://baike.baidu.com/view/79282.htm

所以 :

7 ≡ 7 (mod 12)

(-2) ≡ 10 (mod 12)

7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

現在我們為一個負數 , 找到了它的正數同余數 . 但是并不是 7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即計算結果的余數相等 .

接下來回到二進制的問題上 , 看一下 : 2-1=1 的問題 .

2-1=2+(-1) = [0000 0010] 原 ?+ [1000 0001] 原 = [0000 0010] 反 ?+ [1111 1110] 反

先到這一步 , -1 的反碼表示是 1111 1110. 如果這里將 [1111 1110] 認為是原碼 , 則 [1111 1110] 原 = -126, 這里將符號位除去 , 即認為是 126.

發現有如下規律 :

(-1) mod 127 = 126

126 mod 127 = 126

即 :

(-1) ≡ 126 (mod 127)

2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

2-1 與 2+126 的余數結果是相同的 ! 而這個余數 , 正式我們的期望的計算結果 : 2-1=1

所以說一個數的反碼 , 實際上是這個數對于一個膜的同余數 . 而這個膜并不是我們的二進制 , 而是所能表示的最大值 ! 這就和鐘表一樣 , 轉了一圈后總能找到在可表示范圍內的一個正確的數值 !

而 2+126 很顯然相當于鐘表轉過了一輪 , 而因為符號位是參與計算的 , 正好和溢出的最高位形成正確的運算結果 .

既然反碼可以將減法變成加法 , 那么現在計算機使用的補碼呢 ? 為什么在反碼的基礎上加 1, 還能得到正確的結果 ?

2-1=2+(-1) = [0000 0010] 原 ?+ [1000 0001] 原 ?= [0000 0010] 補 ?+ [1111 1111] 補

如果把 [1111 1111] 當成原碼 , 去除符號位 , 則 :

[0111 1111] 原 ?= 127

其實 , 在反碼的基礎上 +1, 只是相當于增加了膜的值 :

(-1) mod 128 = 127

127 mod 128 = 127

2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

此時 , 表盤相當于每 128 個刻度轉一輪 . 所以用補碼表示的運算結果最小值和最大值應該是 [-128, 128].

但是由于 0 的特殊情況 , 沒有辦法表示 128, 所以補碼的取值范圍是 [-128, 127]

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