凱利公式(莊家必勝篇)——致放假在家的高薪程序員們
凱利公式(莊家必勝篇)——致放假在家的高薪程序員們
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其實最終結論只有一個：
贏得勝利的唯一法則：不賭
一條公式讓您了解為什么莊家總是贏閑家。
后面是這個公式與莊閑家的對戰數據。
賭徒迷信的是運氣，賭場相信的是數學。
2021年，又到年終，再提示一下：別去賭，你不是賭王。
賭王何鴻燊接手葡京賭場時，生意蒸蒸日上，但理性的賭王仍然忐忑，請教“賭圣”葉漢：
“如果這些賭客總是輸，長此以往，他們不來了怎么辦？”
葉漢笑道：
“一次賭徒，一世賭徒，他們擔心的是賭場不在怎么辦。”
葉漢說的只是心理層面，現代賭場程序方面的設計比葉漢當年要縝密得多，賭場集中了概率學、統計學的數學知識。一個普通賭徒，只要長久賭下去，最終一定會血本無歸。所謂的各種致勝絕技，除了《賭圣》電影里的周星星，現實世界里的周星馳都不信。
一個癡迷于發財夢的賭徒永遠不明白，與自己對賭的不是運氣，也不是莊家，而是狄利克雷、伯努利、高斯、納什、凱利這樣的數學大師，贏的概率能有多大？
01
看得到的是概率
看不見的是陷阱
先說一個最簡單的賭博游戲：拋硬幣。
規則是這樣的，正面贏反面輸，如果你贏了可以拿走和本金一樣多的獎金，如果輸了則會賠掉本金。
你一聽可能覺得這游戲還不錯，公平！
于是你拿出了身上的100元來玩這個游戲，每次下注5元，這樣你至少有20次的下注機會。
不過，你運氣不太好，第一把就是反面，輸了5塊錢。
生性樂觀的你覺得沒什么，反正不管怎么說，贏面都有50%，下一把就可以贏回來。
結果，很快你就把身上的錢都輸光了。
你百思不得其解，明明是公平的50%贏面，在50%概率下至少不會虧本的，可為什么最后會輸光？
事實上，你以為自己看到了50%的概率，把游戲看得透徹明白，殊不知，你看到了概率，卻沒有看到背后的陷阱，一腳踏進了一個叫做“賭徒謬論”的坑里。
你覺得游戲是公平的，一正一反，均為50%概率，按照大數定律來說，這是必然規律。然而，你有沒有想過，正是這種你以為的“公平”，讓你誤解了大數定律，才陷入了“賭徒謬論”里呢？
先來看看這種讓你覺得“公平”的大數定律究竟是什么。
它是數學家雅各布·伯努利提出的：
假設n是N次獨立重復試驗中事件A發生的次數，p是每一次試驗中A發生的概率，那么，當N趨于無窮時，有
式中n表示發生次數，N表示試驗總次數。
也就是說，大量重復的隨機現象里其實藏著某種必然規律。
還是以拋硬幣為例，當投擲次數足夠大時，出現正（反）面的頻率將逐漸接近于1/2，且隨著投擲次數的增加，偏差會越來越小，如下圖。這是最早發現的大數定律之一。
擲硬幣頻率分布圖
從表面概率看，這確實是場公平的游戲。但這種公平是有一定條件的。
大數定律講究“大量重復的隨機現象”，只有足夠多次試驗才能使得硬幣正反面出現次數與總次數之比幾乎等于1/2。可具體多少次才算“足夠多”？才能夠把它用在個人對賭上？
沒有人知道。因為，概率論給出的答案是——無窮大。
誰也不知道無窮大有多大，只知道這是一個令人仰望的數量。可投擲硬幣次數越少，大數定律的身影就越模糊，可能10次中5正5反，也可能9正1反，也可能10正0反或0正10反……
現實往往是，在遠未達到“足夠多”次試驗時，你就已經輸了個精光了。
你身上有100元結果如此，你身上有10000元結果也是如此，就算你身上有100萬元也是如此，因為你永遠不可能有“足夠多”的錢。
“輸贏概率為50%”，這本身就具有很大的誤導性。
在硬幣拋出之前，50%的概率代表的是可能性；
在硬幣拋出之后，50%的概率代表的是結果的統計平均值，卻并不是實際分布值。
這是你對大數定律的誤解之一。
把“大數定律”當“小數定律”，覺得游戲是無條件“公平”的，正面和反面出現的頻率都為1/2。這種在潛意識里被奉為圭臬的“公平”，緊接著讓你踏入了第二個誤解——“賭徒謬論”。
大數定律有一個明顯的潛臺詞：
當隨機事件發生的次數足夠多時，發生的頻率便趨近于預期的概率。
但人們常常錯誤地理解為：隨機意味著均勻。
如果過去一段時間內發生的事件不均勻，大家就會“人工”地從心理上把未來的事情“抹平”。也就是，如果輸了第一把，那下一把的贏面就會更大。
這種你下一把就可以贏回來的強烈錯覺，就是“賭徒謬論”。
當你玩游戲連輸時，你的心底突然冒出一個神秘的聲音，它激動地朝你吶喊：穩住，風水輪流轉，下一把你很有可能就要贏了！
而其實，上一把和下一把之間并沒有任何聯系。
就好比一個笑話：
在乘坐飛機時帶著一枚炸彈就不會遇上恐怖分子了，因為同一架飛機上有兩枚炸彈的可能性是極小的。
兩者如出一轍，都把“相互獨立事件”誤認為是互相關聯的事件。要知道，大數定律的工作機制，可不是為了刻意平衡前后的數據。在這場游戲中，任意兩次事件之間并不會相互產生影響。
賭局是沒有記憶的，哪怕你曾經輸了多次，它也不會因此給你更多勝出的機會。
02
只要進了賭場
你就是一個窮鬼
再來說一個簡單的賭博游戲，還是拋硬幣。
這一次你運氣很不錯，第一把你就贏了100元！可把你高興壞了！
但是和前面的個人對賭相比，這次多了一個莊家。
莊家跟你說：
“你看你也贏了這么多，我呢，辛辛苦苦搭個場子，最后什么都沒撈著。要不這樣，你贏了，就給我留下2%當流水，就算是救濟救濟老哥，給捧捧場！”
你想了下，2%也不多，拿去吧！好了，這事就這么定下來了。
然而你做夢都想不到的是：就是這小小的2%，又一次讓你輸得傾家蕩產！
你同樣百思不得其解，不過是小小的2%抽水，毫不起眼，可為什么在最后，它就成為了莊家賺錢的利器，自己又輸光了？
天真的你，肯定不知道在賭場有一個逃不開的魔咒：賭徒破產困境。
第1把，贏；第2把，贏；第3把……你覺得自己被幸運女神眷顧，一身富貴命。
可早在18世紀初，那群熱愛賭博的概率論數學家們，就提出了那個讓賭徒聞風喪膽的破產噩夢：
在“公平”的賭博中，任何一個擁有有限賭本的賭徒，只要長期賭下去，必然有一天會輸個精光。
我們來看看，為什么那么多長期賭徒都輸成了窮光蛋？錢都到哪去了？
假如你的小金庫是r，你帶著小金庫和莊家開始了一場追逐多巴胺刺激的賭博游戲，打算贏得s后就離開，每一局你贏得籌碼的概率為p，那你輸光小金庫的概率有多大呢？
我們可以在馬爾科夫鏈、二項分布、遞推公式等的助攻下，列出一組組粗暴的、令人頭皮發麻的函數，但也許它們都不如一張二維模擬圖來得直白，如下圖所示。
賭徒破產定理模擬圖-1
賭徒破產定理模擬圖-2
把不同r對應的f(r,n)和f(r,s,p)放到同一個圖中進行比較，它形象地揭示了賭徒輸光定理的含義：所謂的“公平”賭博，其實并不公平。
在f(r,n)中，隨著次數n的增加，賭徒輸光的概率會逐漸增加并趨近于1，并且r越小，這種趨勢越明顯。這說明在公平賭博的情況下，擁有籌碼更少的賭徒會更容易破產。
而在f(r,s,p)中，圖-2則冷峻而無情的話語告訴我們：
如果希望輸光的概率比較小，那么需要每次的贏面p足夠大或者是手里的籌碼r足夠多。
可面前有一位存在感極強的莊家，你真能從他虎口奪食、在贏面和籌碼中賭一把嗎？
答案，顯然是難乎其難的。
第一，沒有一個賭場會讓你的贏面超過50%。
想要每一次的贏面足夠大，除非莊家為你作弊，不隨機，故意讓你贏。
第二，莊家不是賭徒。
莊家的背后是賭場，也就意味著莊家相比于你，擁有“無限財富”。
你的小金庫永遠比不過莊家的賭場錢莊，這也意味著，你比莊家更容易山窮水盡。
當然，也許你可以一擲千金，但賭場卻設置了最大投注額，這并不是他們好心，想保護你免遭破產，他們只是為了自保才設計了一道安全屏障，來抵抗“無限財富”帶來的破產威脅。畢竟萬一哪天比爾蓋茨去賭場找樂子，一次性砸個幾百億進去，萬一贏了，那賭場老板恐怕真的要哭了。
第三，莊家是“抽水”收入。
忘了拋幣游戲中那毫不起眼的2%了嗎？賭徒贏錢后，莊家會從賭徒手中抽取一定比例的流水傭金。
這樣一來，即使你有一個小金庫足以和莊家慢慢磨，打一場持久戰，但贏得越多，為莊家送去的“抽水”越多。長此以往，你還是輸了，錢都進了莊家的口袋。
最終，莊家賺的錢只跟賭徒下注大小有關。
這世上，天才終究是少數，而“賭神”、“賭王”之所以成為普通賭徒難以望其項背的存在，不僅因為他們深諳賭徒心理，也不僅因為他們懂賭場規則，更因為他們懂得該下注多少。
03
凱利公式
先告訴你怎么下注
在賭場老板的眼里，世界上或許只有兩種人：一種現在是窮鬼，一種未來是窮鬼。
不過賭場老板也會有所忌憚，特別是遇到善用數學博弈的高手時。
凱利公式在高級賭徒的世界里大名鼎鼎，是頂級高手常用的數學利器。那什么是凱利公式？我們先看一個例子。
一個1賠2（不包括本金）的簡單賭局，扔硬幣下注，假設賭注為1元，硬幣如果為正面則凈贏2元，如果為反面則輸掉1元。現在你的總資產為100元，每一次的押注都可投入任意金額。
你會怎么賭呢？已知擲硬幣后正反面的概率都為50%，賠率是1賠2（不包括本金），那么這個賭局你只要不斷地下注，再拋開不公平因素的干擾，幾乎就能賺。
因為擲硬幣次數越多，其正反面出現概率就越會穩定在50%，收益2倍，損失卻只是1倍，從數學上講那是穩賺不賠的賭局。
但實際情況卻可能會有偏差。
如果你是冒險主義者，你可能會想，要玩就玩大的，一次性把100元全押上，幸運的話，一次正面就可以獲得200元，又是一段值得炫耀的賭史。可是，如果輸了，得把100元資產拱手獻給對方，你就一無所有。好不容易來趟拉斯維加斯，這肯定不是明策。
如果你是保守主義者，你可能會想，謹慎一些，慢慢來。你每次只下注1元，正面贏2元，反面輸1元。玩了20把突然覺得，對方下注10元一次就贏得20元，自己一次才贏2元、10次才能贏得20元，感覺自己已經錯過幾個億而開始后悔！
那到底該以多少比例下注才能獲得最大收益呢？普通賭徒一般一臉茫然，但凱利公式卻能夠告訴我們答案：
每次下注比例為當時總資金的25%，這樣就能獲得最大收益。
讓我們來看看凱利公式的廬山真面目：
式中，各參數意義為：
f為應投注的資本比例；
p為獲勝的概率（拋到硬幣正面的概率）；
q為失敗的概率，即（拋到硬幣反面的概率）；
b為賠率，等于期望盈利÷可能虧損（盈虧比）；
公式上面的分子(bp-q)代表“贏面”，數學中叫“期望值”。
什么才是不多不少的賭注呢？凱利告訴我們要通過選擇最佳投注比例，才能長期獲得最高盈利。
回到前面提到的例子中，硬幣拋出正、反面的概率都是50%，所以p、q（獲勝、失敗的概率）都為0.5，而賠率＝期望盈利÷可能虧損=2元÷1元，賠率就是2，也就是說這個賭局次數越多，我們收益就越高。
那么如何利用手中的資金來獲得最高收益呢，我們要求的答案是f，也就是
由此，我們根據凱利公式的計算而得投注比例，每次都拿出當前手中資金的25%來進行下注。設初始資金為100，硬幣為正面時，收益為投注的2倍，為反面則失去投注金額。在下表中，我們模擬計算了10次賭局的收益情況。
25%投注下10次收益表-1
25%投注下10次收益表-2
圖-1中從先正后反的情況計算了收益，而圖-2則計算了正反分布交錯情況下的收益結果。
比較兩表，我們最終可以發現其收益是相等的，硬幣出現正反面的先后順序對于最終收益的計算結果并無影響。
而按25%的投注比例進行投注，收益基本呈現穩步增長的大趨勢。
但假設投注比例為100%時，10次當中只要出現任意一次的反面，就會徹底輸光身上的所有錢，直接出局，且每輪反面概率還為50%；
而每次投注1元，即投注比例為1%的時候，10次數學上的收益為，這風險很小，但收益太低。由此看來，凱利公式才是最大的贏家。
賭場操盤者每一次下注的時候，都會謹記數學原則；而作為普通賭徒，除了心中默念“菩薩保佑”外，哪里知道這后面的數學知識？
所以，就算你贏得了“財神爺”的支持，也永遠贏不了“凱利公式”。
04
除非100%贏
否則任何時候都不應下注
所有的賭場游戲，幾乎都是對賭徒不公平的游戲。
但這種不公平并非是莊家出老千，而是光明正大地依靠數學規則賺取利潤，從某種意義上來講，賭場是最透明公開的場所。
凱利公式不是憑空設想出來的，這個數學模型已經在華爾街得到了驗證，除了在賭場被奉為“勝利理論”，同時也被稱為資金管理神器，它是比爾格羅斯等投資大佬的心頭之愛，巴菲特依靠這個公式也獲取了很多收益。
回歸到賭場討論這個公式，根據公式結論，期望值為負時，賭徒不具備任何優勢，也不應下任何賭注。賭博這種游戲，要下負賭注，你不如自己開個賭場當莊家。
的確，世界上有為數不多的“賭神”，他們當中有信息論的發明者香農，數學家愛德華·索普等，他們通過一系列復雜的計算和艱深的數學理論，把某些賭戲的贏率扳回到50%以上，如21點，靠強大的心算能力可以把概率拉上去。
但就憑你讀書時上課打瞌睡、輸了只知道倍投翻本的可憐知識，以及九九乘法表的那點算力，還是先老實讀完以下3條準則。
（1）期望值為0時，賭局為公平游戲，這時不應下任何賭注。
（2）期望值為負時，賭徒處于劣勢，更不應下任何賭注。
（3）期望值為正時，這時按照凱利公式投注賺錢最快，風險最小。
其實最終結論只有一個：
除非100%贏，否則任何時候都別賭上全部身家，即使贏率相對較高也要謹慎。
贏得勝利的唯一法則：不賭
有人可能說，我又不是與賭場對賭，我只要贏了對手就行了。可無論是你還是對方，贏者都是要給賭場“流水”的，賭的時間一長，兩者都是在給賭場打工。
現代賭場自己做莊的可能性很小，他們更依賴數學定理來自己獲取利益。對于那些小型賭場還有線上賭場，怎么就確定你的對手不是賭場本身呢？
沒有誰能說服一個墮落的賭徒，因為這是人格的缺陷。如果你還尚且一個具有理性精神的人，就別再迷戀所謂的運氣。
賭徒能夠依靠的是菩薩保佑，而賭場后面的大師是高斯、凱利、伯努利這樣的數學大神。你怎么可能贏得了莊家？
論理性，沒有人能比賭場老板更理性。
論數學，沒有人能比賭場老板請的專家更精通數學。
論賭本，沒有人能比賭場老板的本錢更多。
如果你想真正贏得這場賭局，法則只有一個：不賭。
年底了，重新再提示一下！
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