一文搞清二進制補碼 丨【奔跑吧！JAVA】

引言

點進這個文章說明你對補碼的概念也有不清楚的地方，嘻嘻，那就繼續(xù)看下去吧。

很多同學在學習二進制的時候對于補碼的理解不是很清楚，并且也不知道為什么補碼是原碼先取反然后再加一，這里就來說說我自己的理解，希望能幫到你。

二進制

我們知道計算機內部使用二進制用來表示，準確來說，計算機內部只有二進制，只有0和1，再也沒有別的數(shù)字了。0和1分別對應低電平和高電平，在磁盤中則代表S極和N極，也可以理解為正 和 反，總之0和1是不一樣的兩種狀態(tài)，凡是界限分明的兩種狀態(tài)都可以用來表示0和1。

二進制數(shù)包括有符號數(shù)和無符號數(shù)，這里我們討論有符號數(shù)（因為無符號數(shù)也不牽扯補碼的問題）。我們知道一個byte占用一個字節(jié)，也就是8個bit，在一般的編程課程中一般都會告訴我們，1byte所能表示的數(shù)字是2^8= 256個，又因為有符號數(shù)中第一位是符號位，第一位是0則代表正數(shù)，為1則代表負數(shù)，全為0則代表0，所以byte所能表示的范圍是-128~127。這里比較精明的同學就會有疑問了，為什么是-128~127而不是-127~128？這將在下面講解，請繼續(xù)往下看。

補碼的由來

要了解為什么使用補碼，那么我們就要知道如果不使用補碼會遇到什么樣的問題，舉個例子大家就明白了，為了方便閱讀，我們采用8個bit進行演示，多個字節(jié)的情況類似。

比如00000000（8個0）表示0，00000001表示1，01111111表示127，那么按照常規(guī)的想法，10000001應該表示-1，10000000應該是-0（也就是0），11111111應該是-127。如下表：

在計算機中也要遵循傳統(tǒng)的數(shù)學定理，比如1-1 = 1+(-1) = 0，然而按照剛才的設想，00000001+10000001 = 10000010 = -2 ≠ 0，這違反基本的數(shù)學規(guī)律，這在一個科學的、自洽的計算機系統(tǒng)中是不允許存在的，這是存在的第一個問題；

第二個問題是，+0和-0占據(jù)了兩個位置，這樣就無法表示256個數(shù)了，只能表示255個。

那么我們需要怎么解決這個違反數(shù)學規(guī)律的問題呢？我們當然難以解決，幸好已經有偉大的計算機科學家找到了完美的解決方案，那就是補碼。補碼的規(guī)則是源碼按位取反得到反碼，然后再加1，就得到補碼。補碼與原碼互為對稱關系，即補碼是原碼的補碼，原碼也是補碼的補碼，這句話有點繞口，多讀幾遍就理解了。同理，原碼與反碼也是對稱關系，反碼是源碼的反碼，源碼是反碼的反碼。

我們再舉例子，00000001（1）取反得到11111110，再加1得到11111111，然后將00000001 + 11111111 = 00000000 = 0！！！? ?所以11111111即為-1

00000010（2）取反得到11111101，再加1得到11111110，然后將00000010 + 11111110 = 00000000 = 0！！！? ?所以11111110即為-2

01111111（127）取反得到10000000，再加1得到10000001，然后將 01111111 + 10000001 = 00000000 = 0！！！? ?所以10000001即為-127

。。。以此類推就可以得到-1~-127所對應的二進制編碼，并且滿足負數(shù)的首位（符號位）是1。

最后還剩一下一個10000000和00000000,00000000對應0，那么只剩下一個-128和10000000對應，那么為什么把10000000分配給-128而不是+128？這是因為10000000 + 00000001（1） = 10000001 = -127 ，所以10000000就等于-127 - 1 = -128。至此為止，8bit的所對應的所有的256個二進制數(shù)均與十進制數(shù)對應完畢，且完全滿足數(shù)學規(guī)律，這就是我們想要得到的。

關鍵結論

從上面的例子不難看出，滿足數(shù)學規(guī)律的情況下，

補碼所代表的就是原碼的相反數(shù)，補碼所代表的就是原碼的相反數(shù)，補碼所代表的就是原碼的相反數(shù)！！！

重要的事情說三遍。

可逆性驗證

進行補碼的逆運算： 11111111（-1） 減1得到? 11111110，然后按位取反得到 00000001 （1）

進行補碼運算：11111111 （-1）取反得到 00000000，再加1得到 00000001（1）

這里表明了兩種運算的方式，都可以得到-1 的相反數(shù) 1，兩種運算都可以，是等價的，這也就是取補碼的兩種方式，也就是得到相反數(shù)的方式。這里只是舉個例子，其他情況下也是符合的，請大家自行驗證。

這里只是舉8個bit位來說明問題，int表示4個字節(jié)，long表示8個字節(jié)的情況大家可以自行腦補。

常見數(shù)值的換算對比表

下表列出常用的幾個數(shù)的二進制與十進制的對應關系：

結語

結尾了，還有一個疑問沒有解決，為什么是這么復雜的計算公式，先取反再加1來得到補碼？

這是因為取反之后的反碼與原碼相加會得到11111111（8個1），再加1，就會得到00000000（8個0，也就是0，限定8位，多余的一位會被計算機丟棄），兩個數(shù)相加為0，這就是相反數(shù)的特質，所以依靠這種方式能得到和為0，也就能得到相反數(shù)。這樣計算之后得到的結果有完美的的可逆性與邏輯性，也滿足了數(shù)學規(guī)律并且沒有重復分配，如此精妙絕倫，完美結合了數(shù)學特征和計算機的特質，真的佩服老一代計算機科學技術的睿智與深邃的智慧。

為什么這些計算機科學家可以這么有智慧，設計出這么完美的公式，而我等只能瞻仰學習他們的成果？我想這是厚積薄發(fā)的結果，有了深厚的知識底蘊，才能遇到事情想到最佳的解決方案，完美解決問題。而我們需要做的，就是不斷提高知識水平，夯實底蘊，在不斷的磨礪鍛煉中提高自己，同時對于細節(jié)要多練習達到熟能生巧，保持興趣與競爭力，等待厚積薄發(fā)的機會到來，一舉成名世人知。謝謝大家！

本文有點啰嗦，這也是為了照顧零基礎小白，如果能幫到你，這將是我莫大的榮幸。如果有問題可以評論加私信來和我討論，我看到的話會及時回復。本人也是初來乍到，希望能得到各位大佬的指點。謝謝！

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