劍指Offer——分治算法

劍指Offer——分治算法

基本概念

在計算機科學中，分治法是一種很重要的算法。字面上的解釋是“分而治之”，就是把一個復雜的問題分成兩個或更多的相同或相似的子問題，再把子問題分成更小的子問題……直到最后子問題可以簡單的直接求解，原問題的解即子問題的解的合并。這個技巧是很多高效算法的基礎，如排序算法(快速排序，歸并排序)，傅立葉變換(快速傅立葉變換)……

任何一個可以用計算機求解的問題所需的計算時間都與其規模有關。問題的規模越小，越容易直接求解，解題所需的計算時間也越少。例如，對于n個元素的排序問題，當n=1時，不需任何計算。n=2時，只要作一次比較即可排好序。n=3時只要作3次比較即可，…。而當n較大時，問題就不那么容易處理了。要想直接解決一個規模較大的問題，有時是相當困難的。

基本思想及策略

分治法的設計思想是：將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。

分治策略是：對于一個規模為n的問題，若該問題可以容易地解決（比如說規模n較小）則直接解決，否則將其分解為k個規模較小的子問題，這些子問題互相獨立且與原問題形式相同，遞歸地解這些子問題，然后將各子問題的解合并得到原問題的解。這種算法設計策略叫做分治法。

如果原問題可分割成k個子問題，1

分治法適用的情況

分治法所能解決的問題一般具有以下幾個特征：

1) 該問題的規模縮小到一定的程度就可以容易地解決；

2) 該問題可以分解為若干個規模較小的相同問題，即該問題具有最優子結構性質；

3) 利用該問題分解出的子問題的解可以合并為該問題的解；

4) 該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公共的子子問題；

第一條特征是絕大多數問題都可以滿足的，因為問題的計算復雜性一般是隨著問題規模的增加而增加；

第二條特征是應用分治法的前提，它也是大多數問題可以滿足的，此特征反映了遞歸思想的應用；

第三條特征是關鍵，能否利用分治法完全取決于問題是否具有第三條特征，如果具備了第一條和第二條特征，而不具備第三條特征，則可以考慮用貪心法或動態規劃法。

第四條特征涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨立的則分治法要做許多不必要的工作，重復地解公共的子問題，此時雖然可用分治法，但一般用動態規劃法較好。

分治法的基本步驟

分治法在每一層遞歸上都有三個步驟：

step1 分解：將原問題分解為若干個規模較小，相互獨立，與原問題形式相同的子問題；

step2 解決：若子問題規模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個子問題

step3 合并：將各個子問題的解合并為原問題的解。

它的一般的算法設計模式如下：

Divide-and-Conquer(P)

1. if |P|≤n0

2. then return(ADHOC(P))

3. 將P分解為較小的子問題 P1 ,P2 ,…,Pk

4. for i←1 to k

5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 遞歸解決Pi

6. T ← MERGE(y1,y2,…,yk) △ 合并子問題

7. return(T)

其中|P|表示問題P的規模；n0為一閾值，表示當問題P的規模不超過n0時，問題已容易直接解出，不必再繼續分解。ADHOC(P)是該分治法中的基本子算法，用于直接解小規模的問題P。因此，當P的規模不超過n0時直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,…,yk)是該分治法中的合并子算法，用于將P的子問題P1 ,P2 ,…,Pk的相應的解y1,y2,…,yk合并為P的解。

分治法的復雜性分析

一個分治法將規模為n的問題分成k個規模為n／m的子問題去解。設分解閥值n0=1，且adhoc解規模為1的問題耗費1個單位時間。再設將原問題分解為k個子問題以及用merge將k個子問題的解合并為原問題的解需用f(n)個單位時間。用T(n)表示該分治法解規模為|P|=n的問題所需的計算時間，則有：

T（n）= k T(n/m)+f(n)

通過迭代法求得方程的解：

遞歸方程及其解只給出n等于m的方冪時T(n)的值，但是如果認為T(n)足夠平滑，那么由n等于m的方冪時T(n)的值可以估計T(n)的增長速度。通常假定T(n)是單調上升的，從而當mi≤n

可使用分治法求解的一些經典問題

（1）二分搜索

（2）大整數乘法

（3）Strassen矩陣乘法

（4）棋盤覆蓋

（5）合并排序

（6）快速排序

（7）線性時間選擇

（8）最接近點對問題

（9）循環賽日程表

（10）漢諾塔

依據分治法設計程序時的思維過程

實際上就是類似于數學歸納法，找到解決本問題的求解方程公式，然后根據方程公式設計遞歸程序。

1、一定是先找到最小問題規模時的求解方法

2、然后考慮隨著問題規模增大時的求解方法

3、找到求解的遞歸函數式后（各種規模或因子），設計遞歸程序即可。

美文美圖

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