游戲開發中的進階向量數學

游戲開發中的進階向量數學

飛機

到飛機的距離

遠離原點

以2D方式構建平面

飛機的一些例子

3D碰撞檢測

更多信息

飛機

點積具有帶有單位向量的另一個有趣的屬性。想象一下，垂直于該矢量（并通過原點）的平面通過了一個平面。平面將整個空間分為正數（在平面上）和負數（在平面下），并且（與流行的看法相反），您還可以在2D中使用其數學運算：

垂直于曲面的單位向量（因此，它們描述了曲面的方向）稱為單位法向向量。雖然，通常他們只是簡稱為法線。法線出現在飛機，3D幾何（以確定其中每一個面或頂點板壁）等。通常 是一個單位矢量，但它被稱為正常 ，因為它的用法。（就像我們將（0,0）稱為原點）。

看起來很簡單。平面經過原點，并且其表面垂直于單位矢量（或法線）。指向向量的一側為正半空間，而另一側為負半空間。在3D中，這是完全相同的，除了平面是一個無限的表面（想象一個可以定向并固定到原點的無限的平紙）而不是一條線。

到飛機的距離

現在很清楚飛機是什么，讓我們回到點積。單位矢量和空間中任何點之間的點積 （是的，這次我們進行矢量和位置之間的點積），返回從點到平面的距離：

var distance = normal.Dot(point);

1

但是不僅是絕對距離，如果點在負半空間中，則距離也將為負：

這使我們能夠知道一個點在平面的哪一側。

遠離原點

我知道你在想什么！到目前為止，這還不錯，但是真實的飛機在空間中無處不在，不僅經過原點。你想真正的飛機的行動，你想它現在。

請記住，平面不僅將空間分成兩部分，而且還具有極性。這意味著可以有完全重疊的平面，但是它們的負半空間和正半空間會互換。

考慮到這一點，讓我們將整個平面描述為法線 N和距原點標量D的 距離。因此，我們的平面由N和D表示。例如：

對于3D數學，Godot提供了Plane 內置類型來處理。

基本上，N和D可以表示空間中的任何平面，無論是2D還是3D（取決于N的維數），并且兩者的數學公式相同。與以前相同，但是D是從原點到平面的距離，沿N方向行進。例如，假設您想到達飛機上的某個點，您將執行以下操作：

var pointInPlane = N * D;

這將拉伸（調整大小）法線向量并使之接觸平面。這個數學運算看起來似乎很混亂，但是實際上比看起來要簡單得多。如果我們想再次說出點到平面的距離，我們可以做同樣的事情，只是要調整距離：

var distance = N.Dot(point) - D;

1

使用內置函數的相同操作：

var distance = plane.DistanceTo(point);

1

這將再次返回正或負距離。

可以通過使N和D都為負值來翻轉平面的極性。這將導致平面處于相同的位置，但是具有負半角和正半角的反轉：

N = -N; D = -D;

1

2

當然，Godot也可以在Plane中實現此運算符，因此請執行以下操作：

var invertedPlane = -plane;

1

將按預期工作。

因此，請記住，飛機就是這樣，它的主要實際用途是計算到它的距離。那么，為什么計算點到平面的距離有用呢？這非常有用！讓我們看一些簡單的例子。

以2D方式構建平面

平面顯然不會從任何地方冒出來，因此必須進行構建。以2D方式構建它們很容易，可以從法線（單位矢量）和一個點，也可以從空間中的兩個點完成。

對于法線和點，由于已經計算了法線，因此大部分工作都已完成，因此只需根據法線和點的點積計算D。

var N = normal; var D = normal.Dot(point);

1

2

對于空間中的兩個點，實際上有兩個平面穿過它們，它們共享相同的空間，但法線指向相反的方向。要從兩點計算法線，必須首先獲取方向矢量，然后將其向任一側旋轉90°度：

// Calculate vector from `a` to `b`. var dvec = (pointB - pointA).Normalized(); // Rotate 90 degrees. var normal = new Vector2(dvec.y, -dvec.x); // Alternatively (depending the desired side of the normal): // var normal = new Vector2(-dvec.y, dvec.x);

1

2

3

4

5

6

其余部分與前面的示例相同，因為point_a或point_b都在同一平面上，所以它們都可以工作：

var N = normal; var D = normal.Dot(pointA); // this works the same // var D = normal.Dot(pointB);

1

2

3

4

在3D模式下執行相同的操作會稍微復雜一些，將在后面進行詳細說明。

飛機的一些例子

這是平面有用的簡單示例。假設您有一個凸 多邊形。例如，矩形，梯形，三角形或沒有面向內彎曲的任何多邊形。

對于多邊形的每個片段，我們都會計算經過該片段的平面。一旦有了平面列表，我們就可以做整齊的事情，例如檢查點是否在多邊形內。

我們遍歷所有平面，如果可以找到到該點的距離為正的平面，則該點在多邊形之外。如果我們做不到，那么重點就在里面。

代碼應該是這樣的：

var inside = true; foreach (var p in planes) { // check if distance to plane is positive if (p.DistanceTo(point) > 0) { inside = false; break; // with one that fails, it's enough } }

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

太酷了吧？但這會變得更好！稍加努力，當兩個凸多邊形也重疊時，類似的邏輯就會讓我們知道。這稱為分離軸定理（或SAT），大多數物理引擎都使用它來檢測碰撞。

對于一個點，僅檢查飛機是否返回正距離就足以確定該點是否在外面。對于另一個多邊形，我們必須找到一個平面，在該平面上所有 其他多邊形點都將 返回一個正距離。該檢查是使用A的平面相對于B的點進行的，然后使用B的平面相對于A的點進行的：

代碼應該是這樣的：

var overlapping = true; foreach (Plane plane in planesOfA) { var allOut = true; foreach (Vector3 point in pointsOfB) { if (plane.DistanceTo(point) < 0) { allOut = false; break; } } if (allOut) { // a separating plane was found // do not continue testing overlapping = false; break; } } if (overlapping) { // only do this check if no separating plane // was found in planes of A foreach (Plane plane in planesOfB) { var allOut = true; foreach (Vector3 point in pointsOfA) { if (plane.DistanceTo(point) < 0) { allOut = false; break; } } if (allOut) { overlapping = false; break; } } } if (overlapping) { GD.Print("Polygons Collided!"); }

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

如您所見，飛機非常有用，這是冰山一角。您可能想知道非凸多邊形會發生什么。通常可以通過將凹面多邊形拆分為較小的凸面多邊形，或使用諸如BSP（如今已不多使用）之類的技術來處理。

3D碰撞檢測

這是另外一個獎勵，是對耐心和遵守本篇教程的獎勵。這是另一個智慧。這可能不是直接用例（Godot已經很好地進行了碰撞檢測），但是幾乎所有物理引擎和碰撞檢測庫都在使用它：）

還記得將2D中的凸形轉換為2D平面數組對于碰撞檢測很有用嗎？您可以檢測點是否在任何凸形形狀內，或者兩個2D凸形形狀是否重疊。

好吧，這也適用于3D，如果兩個3D多面體形狀發生碰撞，您將無法找到分離平面。如果找到分離平面，則形狀絕對不會碰撞。

要稍微刷新一點，一個分離平面意味著多邊形A的所有頂點都在該平面的一側，而多邊形B的所有頂點都在另一側。該平面始終是面A或面B的端面之一。

但是在3D中，這種方法存在問題，因為在某些情況下可能找不到分離平面。這是這種情況的一個示例：

為了避免這種情況，需要測試一些額外的平面作為分隔符，這些平面是面A的邊與面B的邊之間的叉積。

所以最終的算法是這樣的：

var overlapping = true; foreach (Plane plane in planesOfA) { var allOut = true; foreach (Vector3 point in pointsOfB) { if (plane.DistanceTo(point) < 0) { allOut = false; break; } } if (allOut) { // a separating plane was found // do not continue testing overlapping = false; break; } } if (overlapping) { // only do this check if no separating plane // was found in planes of A foreach (Plane plane in planesOfB) { var allOut = true; foreach (Vector3 point in pointsOfA) { if (plane.DistanceTo(point) < 0) { allOut = false; break; } } if (allOut) { overlapping = false; break; } } } if (overlapping) { foreach (Vector3 edgeA in edgesOfA) { foreach (Vector3 edgeB in edgesOfB) { var normal = edgeA.Cross(edgeB); if (normal.Length() == 0) { continue; } var maxA = float.MinValue; // tiny number var minA = float.MaxValue; // huge number // we are using the dot product directly // so we can map a maximum and minimum range // for each polygon, then check if they // overlap. foreach (Vector3 point in pointsOfA) { var distance = normal.Dot(point); maxA = Mathf.Max(maxA, distance); minA = Mathf.Min(minA, distance); } var maxB = float.MinValue; // tiny number var minB = float.MaxValue; // huge number foreach (Vector3 point in pointsOfB) { var distance = normal.Dot(point); maxB = Mathf.Max(maxB, distance); minB = Mathf.Min(minB, distance); } if (minA > maxB || minB > maxA) { // not overlapping! overlapping = false; break; } } if (!overlapping) { break; } } } if (overlapping) { GD.Print("Polygons Collided!"); }

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

更多信息

有關在Godot中使用向量數學的更多信息，請參見以下文章：

矩陣與變換

如果您需要其他說明，請查看3Blue1Brown的精彩視頻系列“線性代數的本質”：https://www.youtube.com/watch?v=fNk_zzaMoSs&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab

5G游戲

版權聲明：本文內容由網絡用戶投稿，版權歸原作者所有，本站不擁有其著作權，亦不承擔相應法律責任。如果您發現本站中有涉嫌抄襲或描述失實的內容，請聯系我們jiasou666@gmail.com 處理，核實后本網站將在24小時內刪除侵權內容。