高數計算，我Python替你承包了

在學習與科研中，經常會遇到一些數學運算問題，使用計算機完成運算具有速度快和準確性高的優勢。Python的Numpy包具有強大的科學運算功能，且具有其他許多主流科學計算語言不具備的免費、開源、輕量級和靈活的特點。本文使用Python語言的NumPy庫，解決數學運算問題中的線性方程組問題、積分問題、微分問題及矩陣化簡問題，結果準確快捷，具有一定的借鑒意義。

SymPy一個用于符號型數學計算（symbolic mathematics）的Python庫。它旨在成為一個功能齊全的計算機代數系統（Computer Algebra System，CAS），同時保持代碼簡潔、易于理解和擴展。SymPy完全是用Python寫的，并不需要外部的庫。

首先，我們通過pip安裝一下sympy這個計算庫吧！

pip install sympy

可用SymPy進行數學表達式的符號推導和演算。可使用isympy運行程序，isympy在 IPython的基礎上添加了數學表達式的直觀顯示 功能。啟動時還會自動運行下面的程序：

這段程序首先將Python的除法操作符“/” 從整數除法改為普通除法。然后從SymPy庫載 入所有符號，并且定義了四個通用的數學符號x 、y、z 、t，三個表示整數的符號k、m、n， 以及三個表示數學函數的符號f、g、h。

歐拉恒等式

此公式被稱為歐拉恒等式，其中e是自然 常數，i是虛數單位， 是圓周率。此公式被譽 為數學中最奇妙的公式，它將5個基本數學常數 用加法、乘法和冪運算聯系起來。 從SymPy庫載入的符號中，E表示自然常 數，I表示虛數單位，pi表示圓周率，因此上面 的公式可以直接如下計算：

print(E**(I*pi)+1)

輸出結果為:0

SymPy除了可以直接計算公式的值之外， 還可以幫助做數學公式的推導和證明。歐拉恒等 式可以將 代入下面的歐拉公式得到：

在SymPy中可以使用expand()將表達式展 開e^ix，用它展開看（expand()中x是復數）：

print(expand(exp(I*x), complex=True) )

輸出：

為了指定x為實數，需要重新定義x

x = Symbol("x", real=True)

print(expand(exp(I*x), complex=True))

輸出：

數學表達式

創建一個符號使用symbols()，此函數會 返回一個Symbol對象，用于表示符號變量， 其有name屬性，這是符號名，如：

x0=symbols('x0')

其中左邊的x是一個符號對象，而右邊括 號中用引號包著的x是符號對象的name屬性， 兩個x不要求一樣，但是為了易于理解，通常將 符號對象和name屬性顯示成一樣，另外name 屬性是引號包起來的。如要同時配置多個符號 對象，symbols()中多個name屬性可以以空格或者逗號分隔，然后用引號包住，如下：

一次配置三個符號，由于符號對象名和 name屬性名經常一致，所以可以使用var（） 函數，如：

上面的語句創建了名為x0、y0、x1、y1的4 個Symbol對象，同時還在當前的環境中創建 了 4個同名的變量來分別表示這4個Symbol對象。 因為符號對象在轉換為字符串時直接使用它的 name 屬性，因此在交互式環境中看到變量,x0的 值就是x0，但是査看變量x0的類型時就可以發現 ，它實際上是一個Symbol對象。

type（x0）

數學公式中的符號一般都有特定的假設，例 如m、n通常是整數，而z經常表示復數。在用 var()、symbols()或Symbol()創建Symbol對 象時，可以通過關鍵字參數指定所創建符號的假 設條件，這些假設條件會影響到它們所參與的計 算。

例如，下面創建了兩個整數符號m和n, 以 及一個正數符號x:

每個符號都有許多is_*屬性，用以判斷符 號的各種假設條件。

SymPy的表達式實際上是一個由Basic類 的各種對象進行多層嵌套所得到的樹狀結構。 下面的函數使用遞歸顯示這種樹狀結構：

除了使用SymPy中預先定義好的具有特殊 運算含義的數學函數之外，還可以使用 Function()創建自定義的數學函數：

f = Function("f")

當我使用f創建一個表達式時，就相當于創 建它的一個實例：

t = f(x,y)

isinstance(t, Function)

t.func

f的實例t可以參與表達式運算：

t+t*t

f(x, y)**2 + f(x, y)

表達式變換和化簡

simplify()可以對數學表達式進行化簡：

simplify((x+2)**2 - (x+1)**2)

輸出：2*x + 3

radsimp()可以對表達式進行分母有理化，它所得到的表達式分母將沒有無理數：

radsimp(1/(sqrt(5)+2*sqrt(2)))

輸出：(-sqrt(5) + 2*sqrt(2))/3

fraction()獲得ratsimp()通分之后的分子或分母（它不能自動對表達式進行通分）：

fraction(ratsimp(1/x+1/y))

輸出：(x + y, x*y)

cancel()對分式的分子分母進行約分計算（不能對內部函數的表達式進行約分）：

cancel((x**2-1)/(1+x))

輸出：x-1

cancel(sin((x**2-1)/(1+x)))

輸出：sin(x**2/(x + 1) - 1/(x + 1))

trigsimp()是用來對三角函數進行化簡用的:

trigsimp(sin(x)**2+2*sin(x)*cos(x)+cos(x)**2)

輸出：sin(2*x) + 1

expand_trig()展開三角函數表達式：

expand_trig(sin(2*x+y))

輸出：(2*cos(x)**2 - 1)*sin(y) + 2*sin(x)*cos(x)*cos(y)

log()展開乘積和冪運算：

x,y=symbols("x,y",positive=True)

expand(log(x*y**2))

輸出：log(x) + 2*log(y)

factor()對多項表達式進行因式分解：

factor(15*x**2+2*y-3*x-10*x*y)

輸出：(3*x - 2*y)*(5*x - 1)

integrate()可以用來計算積分，它包含定積分和不定積分：

integrate(f,x)：計算不定積分∫ fdx

integrate(f,(x,a,b)):計算定積分∫a/b fdx

當然有時候我們也有多重積分要運算，不要擔心，我們還可以用

Integrate(f,x,y)來計算雙重積分：∫ ∫ fdxdy

Integrate(f,(x,a,b),(y,c,d))：計算雙重定積分（x上下限ab，y上下限cd）

輸出：-x*cos(x) + sin(x))

當然，sympy還可以求極限，我們大學學的第一個內容！

語法：limit(function, variable, point)，如果是求趨于0，那就把第三個變量改成0，limit(f,x,0)，如果是求趨于無窮，第三個變量改成oo（字母）limit(sin(x)/x, x, oo)

輸出：1

輸出：0

其他還有一些求導，矩陣的算法，平面幾何算法，詳細見一下sympy文檔，這里因為時間問題，我們就不再去介紹了，有問題的可以私聊小編！

下期見！

Python

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