欠采樣

今天信號與系統課程進行到信號頻譜分析應用的第二部分內容：

信號的采樣與恢復。相比于信號的調制與解調，這部分的內則會在同學們的學習和生活中會更多的碰到。

信號的采樣與回復是連接連續時間信號和離散時間信號的橋梁，也是將計算機應用到處理實際物理信號的必要過程。采樣定理在其中起到核心作用，掌握其中的理論基礎則需要同學對剛剛第三章學習的傅里葉變換中時域和頻域之間的離散和周期的對偶關系的深刻理解。

信號在頻域和時域之間的離散與周期對偶關系

對于采樣定理的遵循和應用即使不學習信號分析課程，人們也會非常容易理解。反而是在一些不滿足采樣定理條件，即欠采樣時，所出現的現象往往具有一定的迷惑性。

下面這個問題還是來自于去年5月份，參加智能車競賽的同學在公眾號里提出的一個問題，他對于示波器顯示電機的80kHz（不知道他為何選擇這么高的的PWM頻率）波形時，出現兩個測量結果大為不解。

同一個信號，兩個測量結果

上圖左邊顯示示波器使用5us/格時基標準，測量出的80kHz的PWM波形。右邊顯示該PWM信號在5ms/格時基下顯示的133.3Hz的信號。

上面現象來自于數字示波器對于周期信號采集過程中的欠采樣現象。數字示波器在使用過程中如果沒有選擇前端“抗混疊”濾波功能，則會在使用慢速掃描過程中，由于采樣頻率的降低，會對輸入信號中的高頻信號參數欠采樣。原本信號中的高頻頻譜就會出現在低頻頻譜中。

下面動圖是按照Oppenheim教授的Signals and Systems書中對于欠采樣過程的講解制作的。當采樣頻率不變時，信號的頻率增加，反應在采樣波形上，就會隨著信號頻率增加而呈現周期變化。

信號采樣中的混疊現象

上述過程在頻域屆時，就是周期延拓后的頻譜出現在低頻部分，這種情況被稱為頻率混疊。

頻率混疊現象可能會帶來測量信號在幅度和頻率方面的誤差，但也可以被巧妙應用于對高頻信號的向兩方面。

在智能車競賽中的無線發送電源設備中，由于振蕩信號為640kHz的高頻信號，對于該信號的測量和分析，如果直接使用單片機內部的AD轉換器，無法直接滿足采用定理所要求的采樣頻率。

通過欠采樣獲得無線充電中的高頻信號波形

但是如果采用欠采樣，則可以使用低得多的采樣頻率獲得完整的高頻信號波形，近而可以分析波形中存在的基波和高次諧波分量，為發射電源安全保護打下基礎。

欠采樣原理也可以應用于對高速周期運動物體的觀察過程中。下圖顯示通過一個“頻閃燈”照射一個高速圓周運動的圓盤，當頻閃燈的頻率分別大于、等于、小于圓盤轉動頻率時，所能觀察到的正轉、靜止、反轉的低速運動的圖像。這個過程是對二維信號的欠采樣后所出現的低速運動的圖像。

頻閃燈下的轉動圓盤

今天早上來到校園里，看到環衛工人正在給綜合體育館前面的樹林數目噴灑殺蟲劑。農藥是由三輪車上燃油馬達驅動的壓縮機驅動到橡膠軟管中進行噴灑的。

作業中的環衛工人

下圖顯示手機拍攝的壓縮機傳動輪運行的情況?？梢钥吹睫D動輪在低速運行，并時常正轉和反轉。

手機拍攝下的高速旋轉的傳動輪

下面拍攝的欠采樣的影片令人驚奇。

手機拍攝的飛行中直升飛機的靜止槳葉

內外圓轉向不同的圓盤

緩慢滴落的水滴

在現代信號處理中，越來越依賴于基于計算機技術的數字信號處理方法。理解和掌握信號采樣基本原理可以避免陷入錯誤陷阱。

卓老師，昨天在大賽材料室撿到一個履帶底盤，我們改了改，以后不用拖地了哈哈哈。

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